هدیه تولد من به دوستانی که تاب و تحمل تا انتها خواندن آن را دارند :


۱ مقدمه

«همان بودن معادل است با هم ارزی» این جمله به هیچ وجه بدیهی نیست و بیان ریاضی آن چنین است : 


به زبان دیگر می گوید : «ساختارهای یکریخت قابل شناسایی هستند».

در سال ۲۰۱۲ طی همایشی ۴۰ دانشمند در موسسه ی مطالعات پیشرفته در پرینستون جمع شدند تا در طول ۹ ماه، کتابی ۴۷۰ صفحه ای بنویسند. (متوجه هستید که من از بیان نام موحش کتاب پرهیز می کنم تا نترسید و به خواندن ادامه دهید.)
 کار آنها بدون اغراق همان اندازه اهمیت دارد که اقلیدس ۵ اصل بنیادین هندسه ، و  راسل-وایتهد اصول ریاضی را بیان کردند (به یادبیاوریم که اولین اصل اقلیدس چنین است : همه ی چیز هایی که با یک چیز برابرند, خود با هم برابرند). به طور خلاصه آنها پایه های ریاضیات را بر بنیان هایی سازگار استوار کردند. موضوعی که بیش از ۱۰۰ سال محل مناقشه بوده است.(همه می دانیم ریاضیات مجموعه ها با خود در تناقض است). حاصل کار آنها یک سری اصول فرمال نیست و در واقع منجر به برنامه ای کامپیوتری به زبان Coq شده است که می توانید در Github بیابید. به قول "استیو آودی" اولین تلاشی است که برای غیرفرمال کردن ریاضیات صورت گرفته.
 
۲ تفسیر
   ۱-۲ مقدمه ی تفسیر

اما بگذارید جزییات را کنار بگذارم و تفسیر خودم را از این موضوع برایتان بگویم: مدتها پیش وقتی که خسته از کار در تاکسی نشسته بودم و ریشه ی اساسی بی عدالتی را در محدوده های زبان جستجو می کردم و به روش دکارت به دنبال بدیهی ترین مفهوم می گشتم تا به آن شک کنم تا تعمیمش بدهم بر خلاف چندصد سال گذشته به دوگانگی وجود/ذهن بر نخوردم بلکه این بار به مفهوم تساوی رسیدم. یعنی شاید ترازو های (زبان) ما میزان نیست و به زبان دکارت «من همان خودم هستم» جمله ای ناقض یا ناقص است. مقاله ی جالب لئون فلکینز به ابعادی دیگر از این مساله پرداخته است.

  ۲-۲ بحث
- عدد ساده ترین موجودیت ذهنی است و در نتیجه ساده ترین تساوی (خواهیم دید که انواع و اقسام تساوی وجود دارد) برای آن برقرار است ۱=۱ با این حال بیش از ۵۰۰ صفحه طول کشید تا راسل و وایتهد از لحاظ منطقی ثابت کنند ۱+۱=۲ .


مثال : پول عدد است و نمایش دارایی ها به صورت پول و عدد اولین ریشه ی فساد است. چرا که دارایی «من» مفهومی پیچیده است و در عدد نمی گنجد. اصولا هنوز علمی برای مقایسه ی دو موجود پییچیده ابداع نشده که ریاضیات آن را به زبان خود بیان کند.

- مجموعه قدمی مهم در جهت مدل سازی دنیای واقعی در ریاضیات بود. {۱و۲} {۲و۳} {۱و۳} سه مجموعه مختلف با دو عضو هستند پس عدد آنها یکی است ولی با هم برابر و مساوی و معادل و احتمالا هم ارز نیستند اما با برخی عینکها (نگاشت) همریختند. مجموعه آنقدر برای ریاضیات هیجان انگیز بود که تمامی جهان ریاضیات تصمیم گرفت به زبان مجموعه ها بازنویسی شود. اما دچار مشکل و بحث و دعوا و خودویرانگری شد : مجموعه نمی تواند شامل خود باشد یعنی هنوز تا توصیف واقعیت فاصله دارد بدین ترتیب انواع (Type) بوجود آمد و کامپیوتر زاده شد. توپولوژی و جبر دست به دست هم دادند تا با هوموتوپی یا هومولوژی مفهوم تساوی را بهبود دهند. اما زمان و انرژی با هم جمع نمی شوند.

مثال : بهترین حسابدار ها هم نمی توانند برکت یک معامله را حساب کنند چون نه تنها از اخلاق سررشته ندارند بلکه زمان کافی ندارند تا تمام تاثیرات جانبی یک معامله را تا آخر الزمان در نظر بگیرند.


- رسته ها (Categories) مفهوم تساوی را منفجر کرد. می توانم بگویم استفاده از رسته ها لحظه ی خودآگاهی ریاضیات بود. این نظریه که تقریبا تمامی قید و بند های مجموعه ها را برداشت فقط یک هدف دارد : گسترش معنی تساوی به نهایت آن. هم اکنون که این جملات را می نویسم هزاران گونه از شباهت همریختی یکریختی با بی نهایت درجه آزادی در حال خلق شدن است . قیاس استقرا استنتاج را می توان در این زیان گنجاند. به جرأت رسته ها عدالت گستر ترین زبان بشری است که تا کنون خلق شده و احتمالا اگر به آن زبان حرف بزنیم هیچ سوء تفاهمی بین انسان ها اتفاق نخواهد افتاد و شاید بیماری های روانی هم درمان خواهد شد. گستره ی رسته ها بسیار بیش از دانش من و شاید نبوغ موجود در آن بیش از حد هوش من باشد ولی این نوشته در ستایش آن نیست.
ریاضیات علم رده بندی اشیاء و قوانین خود است. رده بندی یعنی یافتن موجودیت های هم ارز . هم ارزی در یک یا چند ویژگی یا همان شباهت. شباهت یک شیء با خودش یا میزان خود متشابهی آن.... با این حال این نوشته قرار نیست بگوید ریاضیات چیست یا حد و مرز آن کجاست.

- بحث من «مقایسه» است . در تمام طول تاریخ و از زمان کشف «دیگری» به دنبال بهبود ابزار مقایسه و ابداع تساوی های فراگیر تر بوده ایم و تا زمانی که از عدد ۲ فراتر نرفته ایم چنین خواهد بود.